For å forstå spredning av epidemier i sosiale nettverk må vi være klar over at det avhenger både av hvordan individuelle noder i nettverket oppfører seg, men også av hvordan nettverket er strukturert(i hvilken grad nodene er koblet sammen via kanter, homophily etc). På grunn av allsidigheten nettverksteori gir har det blitt brukt til å modellere mange forskjellige typer epidemier/infeksjoner. Noder kan brukes til å representere individer, grupper, steder og kanter kan brukes til å vise utbrudd og spredning ved bruk av en directed graph. I et relasjonsbasert nettverk som viser hvem som kjenner hvem kan disse studiene også hjelpe oss å forutse spredningen og omfanget av en epidemi.
En annen og kanskje mer nøyaktig måte vi kan modellere spredningen av en epidemi på er å ta stilling til et “kontakt-nettverk” hvor hver node representerer en person og hver kant representerer en situasjon hvor personene kommer i kontakt med hverandre på en måte som potensielt kan føre til smitte. Tatt dette i betraktning kan vi sette opp nettverket av noder som et tre hvor rotnoden representerer den opprinnelige bæreren hvor all spredning starter. La oss si at sannsynligheten for at en bærer smitter en annen person er S og hver smittede person smitter videre en ny gruppe mennesker med sannsynlighet S. Vi kan ut ifra dette se at antall smittebærende noder i treet øker eksponentielt, men at det på hvert nivå i treet vil være noen individer som blir smittet og andre ikke. Hvert nivå i treet kan bare bli påvirket av nøyaktig èn node i nivået over seg og vi kan markere kantene hvor smitte mellom to noder skjer som i figur 1 og figur 2. Dette er noe vi kaller the “branching process” (Networks, Crowds, and Markets: Reasoning about a Highly Connected World – 21.2 Branching Processes)
Hver infeksjon skjer uavhengig av hverandre med sannsynlighet S og med høy sannsynlighet vil treet også nødvendigvis bli bredere og infisere flere noder per nivå. Dette kan vi se i figur 1 hvor spredningen er temmelig aggressiv og sprer seg til først to, så tre, så fem noder nedover i treet. Ved å se på denne modellen kan vi forutsi at spredningen vil smitte eksponentielt enda flere i videre lag nedover i nettverket. På den annen side ser vi i figur 2 at i et tilfelle hvor verdien for S er lavere vil også epidemien spre seg mye mindre omfattende og dø ut mye raskere.
Figur 1: I et nettverk hvor S er høy vil epidemien spre seg raskt og bredt
Figur 2: I et nettverk hvor S er lav vil epidemien sannsynligvis dø raskt ut
(Figure 1&2, source: Networks, Crowds, and Markets:
Reasoning about a Highly Connected World)
Modeller: SIR og SIS
SIR modellen er en modell vi kan bruke i enhver nettverksstruktur og gir oss mulighet til å fjerne noder sett at de enten har blitt immun eller dør som følge av smitten. I SIR modellen ser vi på tre typer noder: “susceptible” noder, altså de nodene som ikke er smittet enda men potensielt kan bli smittet, infiserte noder og fjernede noder. Vi noterer dem S(t), I(t) og F(t) hvor S,I og R er funksjoner som tar grafen som parameter og returnerer settet av noder som enten er suscetible, infiserte eller fjernet. (David Smith and Lang Moore – The SIR Model for Spread of Disease – The Differential Equation Model).
Vi kan dermed se at flyten av nodene er S –> I –> R
For å holde en infeksjon gående trenger vi to av disse: Infiserte og suscetible noder og i henhold til SIR modellen vil epidemien dø ut gitt at enten settet med infiserte eller suscetible noder =0. Dette er fordi nodene flyter over fra settet av infiserte noder til fjernede noder.
En modifisert versjon av denne modellen kalles SIS hvor i stedet for å ha et sett F(t) som fjerner noder fra nettverket(gitt at de enten dør eller blir immun) tillater den noder å flyte tilbake fra I(t) til S(t). Om vi tar stilling til SIS modellen for et nettverk over lang nok tid er det sannsynlig at en eller annen form for likevekt blir nådd. Dette skjer når enten verdiene I(t) og S(t) holder seg stabil eller at alle noder blir infisert.
“The small world phenomenon”
“The small world phenomenon” er observasjonen av at grafer sett i sammenheng med sosiale nettverk ofte kan spre seg bredt i korte stier. For å gjøre det klarere er det verdt å snakke om det vi kaller “6 degrees of separation” hvor en gitt node A i gjennomsnitt regnes å ikke være lenger enn 6 kanter unna en annen node B om vi tenker på hele verdens befolkning som en graf. Dette er nyttig om vi skal modellere epidemi i et nettverk ettersom disse korte stiene kan gi spredningen bestemte ruter og snarveier som øker hurtigheten av spredningen. Dette viser at the small world phenomenon gir epidemier med høy smittefare mulighet til å spre seg veldig bredt i nettverket(tenk diameteren til grafen) ettersom antall noder som kan bli nådd av spredningen øker eksponentielt for hvert lag med noder nedover i treet.
(Networks, Crowds, and Markets: Reasoning about a Highly Connected World, Chapter 20, The Small-World Phenomenon)
For å illustrere dette kunne vi laget en graf hvor hver node kan nå minst to andre noder. Om epidemien sprer seg i <=7 lag nedover treet vil enhver node kunne nå enhver annen node med “6 grader” eller mindre.
Kilder
Networks, Crowds, and Markets:Reasoning About a Highly Connected World – By David Easley and Jon Kleinberg
The SIR Model for Spread of Disease – The Differential Equation Model The SIR Model for Spread of Disease – David Smith and Lang Moore
Eight challenges for network epidemic models – Lorenzo Pellis
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1755436514000334